音がなる仕組み（矩形波オシレータ）

矩形波オシレータの音がなる仕組みについて考えていきたいと思います。

簡単なイメージ

図のように、この回路は発振部分と音量調節部分に分かれています。

発振部分

コンデンサに電気がたまったり抜けたりを繰り返しています。ししおどしのように、コンデンサに電気がたまると抜けていき、抜けていくとまたたまりだすというイメージです。

コンデンサに電気がたまったり抜けたりしていく電圧の様子 — コンデンサに電気がたまったり抜けたりする様子

コンデンサに電気が貯まるとNOT回路の入力電圧が大きくなるのでやがてしきい値電圧を超え、出力はLOWになります。するとコンデンサの電気が抜けていって今度は入力電圧がしきい値を下回り、出力はHIGHになります。そうすると今度はコンデンサに電気が再びたまっていきます。

これを繰り返していくことにより、NOT回路の出力はHIGH, LOW, HIGH, LOW, …と続いていき、矩形波ができることになります。

音量調節部分

可変抵抗で電圧を分圧することによって音量を調節しています。

バッファ

あとに続く回路はボルテージフォロワ回路で、バッファのために入れています。

音の波形のでき方

発振部分ではどのようにして音の波形ができているのか、式も使いながら考えていきます。微分方程式を使っていくので多少難しいかもしれません。

コンデンサに電気がたまる・抜ける様子

図のような回路を考え、コンデンサの電荷の様子を計算で求めてみます。

コンデンサにたまった電荷を$Q$とします。

微分方程式は以下のようになります。

$$V_{out} = R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C}$$

これを$Q$について解くと次のようになります（$A$は定数）。

$$Q(t) = A e^{-\frac{1}{RC}t} + CV_{out}$$

VoutがHIGHのとき（電気がたまる）

$$V_{out} = V_H$$

と表すことにします。

初期値が

$$Q(0) = 0$$

であったとすると、電荷$Q$の式は以下のようになり、下のグラフになります。これが、コンデンサに電気がたまっていく様子です。

$$Q = CV_{H} ( 1 – e^{-\frac{1}{RC}t })$$

コンデンサに電気がたまり、expnential型に電圧が上昇していく様子 — コンデンサに電気がたまっていく様子

VoutがLOWのとき（電気が抜ける）

$$V_{out} = 0$$

と表すことにします。

今度は初期値が

$$Q(0) = CV_H$$

であったとすると、電荷$Q$の式は以下のようになり、下のグラフになります。これが、コンデンサから電気が抜けていく様子です。

$$Q = CV_{H} e^{-\frac{1}{RC}t}$$

コンデンサから電気が抜けてexponential型に電圧が減少していく様子 — コンデンサから電気が抜けていく様子

NOT回路の動く様子

NOT回路とは、入力にHIGHが来るとLOWを出力し、入力にLOWが来るとHIGHを出力する回路です。出力の変わる境目の電圧をしきい値電圧といいます。

回路の動きを考えるにあたって、NOT回路のしきい値電圧を考える必要があります。

今回使用しているSN54HC14というNOT回路はシュミットトリガインバータです。

シュミットトリガというのは、簡単に言うと、しきい値が2つあるということです。

図のように、出力電圧が下から上に行くときのしきい値$V_{LH}$と、上から下に行くときのしきい値$V_{HL}$の2つがあります。

NOT回路の図と、その入力出力電圧のヒステリシス特性を表すグラフ — NOT回路とその入力電圧および出力電圧の関係

オシレータの発振部分

最後に、上の2つの節で考えた回路を組み合わせたものを考えていきます。

この回路はオシレータの発振部分とほとんど同じです。違う部分は、複数の抵抗と可変抵抗が1つの抵抗で表現されていることと、NOT回路が1つしかないことですが、回路の動きとしては同じだと考えて大丈夫です。

上の節で考えた回路2つが合わさっているので複雑に感じるかもしれませんが、実際はそんなことないです。なぜなら、NOT回路に流れる電流は非常に小さく、無視できるからです。つまり、上で考えたことがそのまま適用できます。

VoutがHIGH（電気がたまる）とき

初め$V_{out}$がHIGHだとすると、コンデンサには電気が溜まっていきます。ただし今回は上の節と異なり、NOT回路がつながっています。すると、上で考えたようにコンデンサの電圧$V_{cap}$が$V_H$になるまで電気がたまるということは起こりません。なぜなら、NOT回路は入力がしきい値電圧$V_{HL}$を超えると出力$V_{out}$がLOWに変化するからです。

下図のように、コンデンサには赤い部分までしか電気がたまらないことになります。